Cévienne : toute droite passant par les sommets du triangle. Les bissectrices, les hauteurs, les médianes, sont des céviennes particulières du triangle qui se coupent en un seul point.
Historique[]
Le terme cévienne vient du nom du mathématicien italien Giovanni Ceva. Il a, en 1678, dans son ouvrage De Lineis Rectis, démontré un théorème relatif au concours des céviennes d'un triangle.
Théorème de Ceva[]
Enoncé[]
Soit un triangle, et les points d'intersection des céviennes passant respectivement par avec les droites . Alors on a le théorème suivant :
Théorème de Ceva
Si les céviennes d'un triangle sont concourantes, alors
Démonstration[]
Le point de concourance est à l'intérieur du triangle[]
C'est une démonstration qui passe par des manipulations sur des surfaces.
Soit le triangle , et trois céviennes concourantes. Soient les hauteurs du triangle issuent respectivement de .
La surface du triangle est donnée par l'expression
Nous avons également les expressions suivantes :
Par substitution nous avons donc les 3 égalités suivantes :
Soit le point de concours des céviennes, alors on peut écrire :
Similairement à ce que nous indique l'expression , on peut écrire que :
Afin de simplifier le développement du calcul, notons :
On peut alors noter les égalités suivantes :
(**)
Du système précédent on déduit en développant chacune des équations:
Et c'est là que cela devient intéressant, on remarque que :
Donc, en revenant aux expressions (**), on a bien :
Le point de concourance est à l'extérieur du triangle[]
A compléter
Le point de concourance est à l'infini : les céviennes sont parallèles[]
A compléter
La réciproque[]
A compléter
Caractéristiques de céviennes[]
Autres caractéristiques que celles liées au théorème de Ceva à développer